Aibė

gegužės 9, 2010

Aibė – objektų, laikomų visuma, rinkinys. Aibės sąvoka yra viena pagrindinių sąvokų matematikoje.

Aibių teorija, atsiradusi tik XIX a. gale, dabar yra viena reikšmingiausių matematikos dalių, pradedama mokyti dar pagrindinėje mokykloje.

Terminai

Aibės objektai vadinami elementais ar nariais. Paprastai aibės žymimos didžiosiomis raidėmis (A, B, C, ..). Dvi aibės yra lygios (A = B), jei abiejų aibių elementai sutampa.

Aibės, kuriuos turi pasikartojančių elementų vadinamos multiaibėmis.

Aibės dažniausiai apibūdinamos žodžiais arba formaliai:

A = {1, 2, 3}
B = {raudona, balta, mėlyna, žalia}

Aibių apibūdinimas nebūtinai turi sutapti, kad aibės būtų lygios. Elementų eilės tvarka ar pasikartojimas taip pat neturi įtakos, t. y. {2, 4}, {4, 2} ir {2, 2, 4, 2} yra identiškos aibės, nes turi lygiai tokius pat elementus.

Jei aibė neturi nei vieno elemento, ji vadinama tuščia aibe ir žymima ø.

Aibė taip pat gali turėti begalinį elementų skaičių – pavyzdžiui, sveikųjų skaičių aibė.

Poaibis

Poaibis (A\subset B)

Jei kiekvienas aibės A elementas yra ir aibės B elementas, aibė A yra aibės B poaibis ir tai žymima A \subseteq B. Jei dar tenkinama sąlyga, kad aibė A nelygi B, tai griežtasis poaibis ir žymima A \subset B. Šiuo atveju B yra aibės A viršaibis.

Pavyzdžiai:

  • Visų vyrų aibė yra griežtas ( \subset ) visų žmonių aibės poaibis
  • {1, 3} \subset  {1, 2, 3, 4}
  • {1, 2, 3, 4} \subseteq  {4, 3, 2, 1}

Taip pat natūrali išvada, kad tuščia aibė yra bet kurios kitos aibės poaibis ir kad kiekviena aibė yra savo pačios poaibis:

  • \emptyset \subseteq A
  • A \subseteq A

Sąjunga

Aibių sąjunga (AB)

Aibių sąjunga tai lyg sudėtis – aibių sąjungos rezultatas yra aibė, kurioje yra visi jungiamųjų aibių elementai. Aibių A ir B sąjunga žymima A ∪ B.

Pavyzdžiai:

  • {1, 2} ∪ {raudona, balta} = {1, 2, raudona, balta}
  • {1, 2, žalia} ∪ {raudona, balta, žalia} = {1, 2, raudona, balta, žalia}
  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sąjungos savybės:

  • A ∪ B =   B ∪ A
  • A \subset A ∪ B
  • A ∪ A =  A
  • A ∪ ø   =  A

Sankirta

Aibių sankirta (AB)

Aibių A ir B sankirta yra aibė, sudaryta iš elementų, esančių tiek A, tiek ir B aibėje. Sankirta žymima A ∩ B. Jei A ∩ B =  ø, tai A ir B yra nesikertančios aibės.

Pavyzdžiai:

  • {1, 2} ∩ {raudona, raudona} = ø
  • {1, 2, žalia} ∩ {raudona, raudona, žalia} = {žalia}
  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sankirtos savybės:

  • A ∩ B =   B ∩ A
  • A ∩ B \subset A
  • A ∩ A =   A
  • A ∩ ø   =   ø

Skirtumas

Aibių skirtumas (A\B)

Aibių A ir B skirtumas yra aibė, kurią sudaro elementai, esantys aibėje A, bet nesantys aibėje B. Aibių skirtumas žymimas AB.

Reklama

Atvirkštinis elementas

gegužės 9, 2010

Atvirkštinis elementas — abstrakčioje algebroje ši sąvoka apibendrina neigimo koncepciją sudėties bei daugybos operacijų atžvilgiu.

Apibrėžimas

Tegu M yra aibė, kurioje apibrėžta binarinė operacija \cdot. Tegu x \in M ir y \in M – bet kurie tos aibės elementai, o e \in M – vienetinis elementas. Tada, jei lygtis  x \cdot y = e yra teisinga, sakoma, kad elementas x yra atvirkštinis elementui y iš kairės, o y – atvirkštinis elementui x iš dešinės.

Elementas, atvirkštinis ir iš kairės, ir iš dešinės, t. y., jei teisinga lygtis  x \cdot y = y \cdot x = e,, vadinamas tiesiog atvirkštiniu elementu ir dažnai žymimas x − 1.

Pastaba: Bendruoju atveju, tas pats elementas x gali turėti kelis atvirkštinius iš kairės bei kelis atvirkštinius iš dešinės elementus – ir šios dvi jų grupės nebūtinai turi kirstis.

Pavyzdžiai

Realiųjų skaičių aibėje atvirkštinis elementas sudėties atžvilgiu skaičiui x yra − x, o daugybos atžvilgiu — 1 / x.

Nekomutatyvios operacijos

gegužės 9, 2010

Kasdieniniame gyvenime:

  • Drabužių skalbimas ir džiovinimas yra nekomutatyvios operacijos: jei mes pirma išdžiovinsime, o po to išskalbsime, turėsime visai kitą rezultatą, nei kad pirma išskalbę, o po to išdžiovinę.

Matematikoje:

  • Atimtis  \scriptstyle a - b
  • Dalyba  \scriptstyle a / b
  • Matricų daugyba
pavyzdžiui,
\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Komutatyvumas

gegužės 9, 2010

Komutatyvumas – matematinės dvinarės operacijos savybė aibės atžvigiu. Dvinarė operacija yra komutatyvi aibės S atžvilgiu, jei galioja lygybė x * y = y * x kiekvienam x ir y iš aibės S.

Jei egzistuoja bent viena pora x ir y, kurioms lygybė negalioja, operacija aibėje S yra nekomutatyvi.

Akivaizdžiausi komutatyvumo pavyzdžiai – sudėtis ir daugyba realiųjų skaičių aibėje, pavyzdžiui:

  • 4 + 5 = 5 + 4 (abiejose lygybės pusėse gauname 9)
  • 2 × 3 = 3 × 2 (abiejose lygybės pusėse – 6)

Kiti komutatyvių operacijų pavyzdžiai – sudėtis bei dalyba kompleksinių skaičių aibėje, aibių sankirta ar sąjunga.

Žiedas vadinamas komutatyviu, jei jame daugyba yra komutatyvi (sudėtis žiede yra visada komutatyvi).

Oilerio formulė

balandžio 22, 2010

Oilerio formule vadinama formulė \mathsf{e}^{i \phi} = \cos( \phi ) + i \sin( \phi ), čia i – tariamasis vienetas.

Įdomu pastebėti, kad | \mathsf{e}^{i \phi} | =\cos^2( \phi ) +  \sin^2( \phi )= 1.

Iš formulės išplaukia, kad  \mathsf{e}^{i \phi} = \mathsf{e}^{i ( \phi + 2 \pi ) }=\cos(\phi+2\pi) +  i\sin(\phi+2\pi).

Įrodymas

Pasižymime z = cosx + isinx, randame šio dydžio diferencialą:

\mathsf{d}z = ( -\sin x + i \cos x ) \mathsf{d}x = (i \cos x + i^2 \sin x ) \mathsf{d}x = iz \mathsf{d}x

Lygtį galime perrašyti taip:

\frac{\mathsf{d}z}{z} = i \; \mathsf{d}x

Abi puses suintegruojame:

\int \frac{\mathsf{d}z}{z} = i \int \mathsf{d}x
 \ln z = ix + C \quad

Konstantos C vertę gauname paėmę x = 0, tada z = 1, C = ln1 = 0, taigi:

 \ln z = ix \quad .

Iš čia:

\mathsf{e}^{ix} = z
\mathsf{e}^{ix} = \cos x + i \sin x

Formulę taip pat galima įrodyti išskleidus abi lygybės puses Teiloro eilutėmis.

Transcendentiniai ir iracionalieji skaičiai

balandžio 22, 2010

Transcendentinis skaičius – realusis (ne kompleksinis) skaičius, kuris negali būti polinomo lygties su sveikaisiais koeficientais sprendinys. Visi transcendentiniai skaičiai yra iracionalieji, bet ne visi iracionalieji skaičiai yra transcendentiniai. Pavyzdžiui, √2 – iracionalusis skaičius, bet būdamas lygties x² – 2 = 0 sprendiniu, jis nėra transcendentinis.

Pavyzdžiai

  • π
  • e
  • 2√2
  • sin(1)
  • ln(a), jei a yra racionalusis, teigiamas ir vienetui nelygus skaičius.

Iracionalusis skaičius – toks realusis skaičius, kurio neįmanoma išreikšti dviejų sveikųjų skaičių santykiu (a/b), t. y. bet kuris realusis skaičius, kuris nėra racionalus.

Žymesni iracionalių skaičių pavyzdžiai – √2, ³√5, π, e

Algebrinė struktūra

balandžio 22, 2010

Pagrindinės algebrinės struktūros

Grupė

Grupė tai yra monoidas, kuriame kiekvienas elementas turi sau simetrinį elementą (atvirkštinį):

a + a − 1 = a − 1 + a = e

Čia a − 1 elementas atvirkštinis a.

Abelio grupė

Abelio grupė tai yra grupė, kurioje esantis kompozicijos dėsnis yra komutatyvus:

a + b = b + a

Čia a,b – aibės elementai.

Žiedas

Žiedas tai yra aibė su joje įvestais dviem kompozicijos dėsniais (+,\cdot). Pirmojo kompozicijos dėsnio ( + ) atžvilgiu žiedas yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio (\cdot) atžvilgiu žiedas yra pusgrupė. Ir taip pat abiem kompozicijos dėsniams galioja distributyvumo taisyklė:

(a+b)\cdot c=b\cdot c + a\cdot c

Čia a,b,c aibės elementai.

Kūnas

Kūnas tai yra žiedas, kuris pirmojo kompozicijos dėsnio ( + ) atžvilgiu yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio (\cdot) atžvilgiu yra tiesiog grupė (nebūtina komutatyvumo sąlyga), kurioje atvirkštinis elementas apibrėžtas visiems aibės elementams, išskyrus “0“ – pirmojo kompozicijos dėsnio ( + ) neutralųjį (vienetinį) elementą.

Laukas

Laukas tai yra kūnas, kuriame antrasis kompozicijos dėsnis (\cdot) yra komutatyvus. Arba kitas apibrėžimas, kad tai yra žiedas, kuriame abu kompozicijos dėsniai yra Abelio grupės.

Euklidinė struktūra

balandžio 22, 2010

Norint naudoti euklidinę geometriją, reikia turėti atstumų (nuotolių) ir krypčių (kampų) tarp vektorių sąvokas. Natūralus būdas suskaičiuoti šiuos dydžius yra apibrėžti skaliarinę sandaugą erdvėje Rn. Skaliarinė dviejų vektorių x ir y sandauga yra apibrėžiama:

\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.

Jos rezultatas yra visada realusis skaičius. Dar daugiau, x skaliarinė sandauga su juo pačiu visada neneigiamas skaičius. Tai leidžia apibrėžti vektoriaus x ilgį kaip

\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}.

Ši funkcija tenkina matematinės normos sąvoką ir vadinama Rn Euklidine norma. Vidinis kampas θ tarp x ir y gali būti parašytas kaip

\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)

kur cos−1 yra arkkosinuso funkcija.

Pagaliau mes galime panaudoti normos sąvoką apibrėždami atstumą arba metriką erdvėje Rn:

d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i -  y_i)^2}.

Šis atstumas arba metrika yra vadinamas euklidiniu atstumu, kuris reiškia atstumą tarp dviejų  vektorių (rodyklių) galų. Iš esmės tai yra gerai visiems žinoma Pitagoro teorema. Realių koordinačių erdvė su šia metrika yra vadinama Euklidine erdve ir dažnai naudojamas žymėjimas En. Euklidinė erdvė taip pat reiškia, kad ji yra Hilberto erdvė ir metrinė erdvė.

Sukimai Euklidinėje erdvėje apibrėžiami kaip tiesinės transformacijos T, išsaugančios kampus ir atstumus:

T\mathbf{x} \cdot T\mathbf{y} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y},
|T\mathbf{x}| = |\mathbf{x}|.

T iš esmės yra ortogonalios matricos.

Euklidinė erdvė

balandžio 22, 2010

Euklidinė erdvė – realiųjų skaičių vektorinė n – matė erdvė, kurioje yra apibrėžta skaliarinė sandauga.

Vektorių skaliarinę sandaugą žymėsime ( \alpha \cdot \beta ).
Ji tenkina keturias savybes:
  1. Simetrija (\alpha \cdot \beta)=(\beta \cdot \alpha),
  2. Daugybos iš skaliaro asociatyvumas  (l\alpha \cdot \beta)=l( \alpha \cdot \beta) ,
  3. Distributyvumas (\alpha + \gamma) \cdot \beta=(\alpha \cdot \beta) + (\gamma \cdot \beta),
  4. Vektoriaus skaliarinė sandauga iš savęs yra teigiama, t. y. (\alpha \cdot  \alpha) >0, jei \alpha \neq 0

Homomorfizmas

balandžio 22, 2010

Homomorfizmas matematikoje reiškia atvaizdį tarp dviejų algebrinių objektų (pvz., grupių, vektorinių erdvių), išsaugantį tų objektų struktūrą ir juose apibrėžtas operacijas (kompozicijos dėsnius). Žodis homomorfizmas kilęs iš gr.homo, reiškiančio “tas pat“ ir morphi, reiškiančio “forma“. Nepainioti su terminu homeomorfizmas!

Homomorfizmas tai yra atvaizdis iš vieno algebrinio objekto į kitą, išsaugantys struktūrą (tokią kaip vienetinis elementas, atvirkštiniai elementai) ir kompozicijos dėsnius.

Nagrinėkime dvi aibes X ir Y turinčias po vieną kompozicijos dėsnį (X,\cdot)\!\,, (Y, \circ) tuomet homomorfizmas \phi: X \rightarrow Y bus

\phi(x_1 \cdot x_2) = \phi(x_1) \circ \phi(x_2),

kur \cdot yra kompozicijos dėsnis X, o \circ kompozicijos dėsnis Y aibėje.

Bendru atveju, esant kompozicijos dėsniui tarp n elementų homomorfizmas \phi: A \rightarrow B tarp algebros objektų yra

\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))\,

kiekvienam kompozicijos dėsniui f ir visiems xi iš aibės A.