Oilerio formulė

Oilerio formule vadinama formulė \mathsf{e}^{i \phi} = \cos( \phi ) + i \sin( \phi ), čia i – tariamasis vienetas.

Įdomu pastebėti, kad | \mathsf{e}^{i \phi} | =\cos^2( \phi ) +  \sin^2( \phi )= 1.

Iš formulės išplaukia, kad  \mathsf{e}^{i \phi} = \mathsf{e}^{i ( \phi + 2 \pi ) }=\cos(\phi+2\pi) +  i\sin(\phi+2\pi).

Įrodymas

Pasižymime z = cosx + isinx, randame šio dydžio diferencialą:

\mathsf{d}z = ( -\sin x + i \cos x ) \mathsf{d}x = (i \cos x + i^2 \sin x ) \mathsf{d}x = iz \mathsf{d}x

Lygtį galime perrašyti taip:

\frac{\mathsf{d}z}{z} = i \; \mathsf{d}x

Abi puses suintegruojame:

\int \frac{\mathsf{d}z}{z} = i \int \mathsf{d}x
 \ln z = ix + C \quad

Konstantos C vertę gauname paėmę x = 0, tada z = 1, C = ln1 = 0, taigi:

 \ln z = ix \quad .

Iš čia:

\mathsf{e}^{ix} = z
\mathsf{e}^{ix} = \cos x + i \sin x

Formulę taip pat galima įrodyti išskleidus abi lygybės puses Teiloro eilutėmis.

Reklama

Žymos:

7 atsakymai to “Oilerio formulė”

  1. vitamarciulynaite Says:

    labai geras darbas! 🙂

  2. justep Says:

    ak tie integralai… Kur pažvelgsi ten ir jie.. 😀 😛

  3. dovilemalijonyte Says:

    Patiko. 🙂

  4. dovilemalijonyte Says:

    Nors bendriau nelabai.

  5. treimontas Says:

    ar tik ne Navickio egzamine buvo klausimas apie Oilerio formule? Pamenu, kad neatsakiau sito 😀

  6. rozkova Says:

    Gerai parasyta

  7. ievav Says:

    Na nuo integralų nepabėgsim kol kas 😀

Parašykite komentarą

Įveskite savo duomenis žemiau arba prisijunkite per socialinį tinklą:

WordPress.com Logo

Jūs komentuojate naudodamiesi savo WordPress.com paskyra. Atsijungti /  Keisti )

Google photo

Jūs komentuojate naudodamiesi savo Google paskyra. Atsijungti /  Keisti )

Twitter picture

Jūs komentuojate naudodamiesi savo Twitter paskyra. Atsijungti /  Keisti )

Facebook photo

Jūs komentuojate naudodamiesi savo Facebook paskyra. Atsijungti /  Keisti )

Connecting to %s


%d bloggers like this: